select * from `biznesmen` where `FIO` like '%$people[0] $people[1] $people[2]%'

$people[0] $people[1] $people[2] - в этих переменных могут быть апострофи

Дает ошибку You have an error in your SQL syntax; check the manual that corresponds to your MySQL server version for the right syntax to use near 'ясич Андрій Петрович%'' at line 1

Что можно сделать?

Как все записи с апострофом заменить на записи с '' вместо одного апострофа?

Как это сделать в Mysql через update?

select * from biznesmen where FIO like '%имя''фамилия%'

Обрати внимание на двойной апостроф внутри строки, он будет воспринят как один.

Заменить все апострофы на кавычки можно с помощью функции REPLACE.

$P=str_replace("'","′",$P);